Humboldt Gymnasium Gifhorn
Fritz-Reuter-Str. 1
38518 Gifhorn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Facharbeit im Leistungskurs Mathematik

Thema: Die Eulersche Zahl e; Die Kreiszahl Pi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Verfasser:     F. Pflug, J. Walter

Fachlehrer:   Herr Laurien

Abgabetermin:    14.03.2001

Pi-Teil: Inhaltsverzeichnis

 

1.  Einleitung                                                  S. 1

2.  Die Geschichte von Pi                               S. 1-3

3.  Verfahren zur Berechnung von Pi            S. 3

3.1.                  Geometrische Verfahren                                  S. 3

3.1.1.            Treppenverfahren                                                           S. 3-4

3.1.2.            Gitterpunktverfahren                                                      S. 4-5

3.2.                  Monte Carlo-Verfahren                                     S. 6-7

3.3.                  Unendliche Summen oder Produkte

3.3.1.            Die Viète-Methode                                                           S. 8

4.  Anwendungen von Pi                                S. 8

4.1.                  Bogenmaß                                                           S. 9

4.2.                  Sinus- und Kosinusfunktionen                       S. 10

5.  Eulersche Zahl e und Kreiszahl p             S. 11

 

e-Teil: Inhaltsverzeichnis e

 

1.              Einleitung                                               S. 12

 

2.              Exponentialfunktionen                          S. 12

 

2.1.                    Überlegungen zu Exponentialfunktionen     S. 12-14

 

2.2.                    Nähere Betrachtung von c                               S. 14

 

3.              Kurzbiographie Leonhard Eulers          S. 14-15

 

4.              Berechnungsweisen von e                    S. 15

 

 

4.1.                    Berechnung über den Proportionalitätsfaktor c       S. 15-17

 

4.2.                    Berechnung über die Grenzwertformel        S. 17

4.2.1.                             Herleiten des Intervalls                                            S. 17-20

4.2.2.                             Beweis für die Intervallschachtelung                  S. 20

 

5.              e und die harmonische Reihe                S. 20-21

 

 

 

Anlage: Literaturverzeichnis

1. Umfang eines Kreises und sein Durchmesser
- ein besonderes Verhältnis

 

Die Zahl Pi: Kaum eine Zahl hat die großen Mathematiker und Denker rund um den Globus so beschäftigt wie die Zahl Pi. Denn schließlich begegnet sie uns täglich: Die runde Kaffeetasse, die Reifen eines Autos, runde Verkehrsschilder: Überall taucht die Zahl Pi auf. Und obwohl sie unendlich lang ist (Pi ist irrational, d.h. man kann Pi nicht als Bruch zweier Zahlen darstellen), reichen bereits wenige Dezimalstellen, um beispielsweise den Umfang des Universums oder die Größe eines Atoms zu bestimmen.

Zunächst scheint es doch recht einfach zu sein, Pi zu bestimmen. Man dividiert den Umfang eines Kreises durch seinen Durchmesser und voilà: Man erhält immer Pi! Dieses ist möglich, da alle Kreise ähnlich sind.

Allerdings dürfte man aufgrund der doch recht beschränken Messgenauigkeit auf nur wenige richtige Dezimalstellen von Pi kommen. Somit kam es dazu, dass sich mit dem Laufe der Zeit ein regelrechter Volkssport unter Mathematikern entwickelte, immer ausgefeiltere, schnellere und vor allem genauere Verfahren für die Bestimmung von Pi zu erhalten. Einige davon möchten wir hier später ausführlich vorstellen.

 

2. Die Geschichte von Pi

 

Schon in der Bibel wird von Pi indirekt berichtet:

„Und er machte das Meer, gegossen, von einem Rand zum andern zehn Ellen weit rundherum und fünf Ellen hoch, und eine Schnur von dreißig Ellen war das Maß ringsherum.“ (1. Könige 7,23)

Mit diesen Angaben (Umfang 30 Ellen, Durchmesser 10 Ellen) würde man auf den Wert 3 für Pi kommen, eine gar nicht mal so schlechte Näherung für das Jahr 950 v.Chr., allerdings gelang den Ägyptern bereits im Jahre 1500 v.Chr. mit (16/9)² (»3,1605...) eine bessere Näherung für Pi.

Den ersten genaueren Wert lieferte Platon (427-348 v.Chr.) mit

Die erste systematische Berechnung von Pi lieferte allerdings Archimedes (285-212 v.Chr.), der bekannte Mathematiker und Physiker der Antike. Er tat dies, in dem er einen Kreis mit regelmäßigen Vielecken ein- und umbeschrieb. Die Fläche des umbeschriebenen Vielecks ist immer größer, die des einbeschriebenen immer kleiner. Die Begründung liegt darin, dass die Strecke zwischen zwei Ecken des Vielecks die kürzeste Verbindung darstellt, die Verbindung mit einer bogenförmigen Strecke muss demnach länger sein:

Lässt man nun die Zahl der Ecken steigen, so erhält man durch eine Intervallschachtelung bei einer Anzahl von 96 Ecken einen recht guten Näherungswert: 3,1410... < p < 3,1422...

 

Hier sieht man sehr gut, dass sich das Vieleck mit steigender Anzahl der Ecken immer mehr dem Umfang des Kreises annähert.

 

1427   gelingt es einem arabischen Astronomen Al-Kasi mit einem 6*2²⁷-Eck (das            entspricht 805.306.368 Ecken!) Pi auf die ersten zwölf Dezimalstellen genau zu           berechnen.

1610   rechnet der Mathematiker Ludolph van Ceulen mit einem 4*2⁶⁰-Eck unglaubliche 35         Dezimalen. Damals waren viele von dieser Leistung so erstaunt, dass sich der Begriff   „Ludolphsche Zahl“ einbürgerte.

 

Von nun an entwickelt sich unter Mathematikern der Sport der Pi-Berechnung: 1841 berechnet William Rutherford 152 richtige Stellen, 32 Jahre später toppt ihn William Shanks mit 527 Dezimalen. Bis jetzt werden alle Berechnungen noch manuell durchgeführt! Dieses ändert sich ab 1949 mit der Einführung der elektronischen Rechner: Es gelingt in 70 Stunden 2.037 Stellen zu berechnen. 1961 sind es bereits 100.000 Stellen in 8,75 Stunden und 1983 16.000.000 Stellen in 30 Stunden. Heute liegt der aktuelle Rekord bei über 200 Milliarden Dezimalstellen. Eine umfangreiche Chronik findet sich unter http://pw1.netcom.com/~hjsmith/Pi/Records.html (auf CD).

 

3. Verfahren zur Berechnung von Pi

 

Wie bereits beschrieben, entwickelten sich mit der Zeit immer schnellere und genauere Verfahrung zur Bestimmung von Pi. In der Antike bis ungefähr 1700 n.Chr. war die geometrische Bestimmung mittels eines regelmäßigen Vielecks gebräuchlich. Ab 1700 jedoch entwickeln Mathematiker eine Vielzahl von unendlichen Summen und Produkten, mit denen sich Pi auf die n-te Stelle genau berechnen lässt.

 

3.1. Geometrische Verfahren

 

3.1.1. Treppenverfahren

 

Bei dieser wohl bekanntesten Methode wird ein Viertel eines Einheitskreises in beliebig viele Streifen zerschnitten. Wie man sieht, beschreibt nahezu die Hälfte der Rechtecke den Kreisausschnitt von innen, da ihre oberen rechten Ecken auf dem Kreisbogen liegen. Die restlichen beschreiben folglich den Kreis von außen, letztlich wird sich der „wahren Fläche“ also wieder von oben und unten genähert, wie es schon bei der Methode mit den Vielecken geschah.

Gehen wir zunächst von der Fläche der inneren Rechtecke aus:
Die Breite der Streifen beträgt , die Höhe der Streifen beträgt nach Pythagoras  also


Die Fläche eines i-ten Rechtecks berechnet sich also wie folgt:  

Die Addition aller Rechtecksflächen ergibt schließlich die Näherung an die Fläche des Viertelkreises:

Die Fläche der äußeren Rechtecke berechnet sich ganz ähnlich, die Breiten und Höhen der Rechtecke sind die gleichen. Nur das erste Rechteck unterscheidet sich, seine Höhe ist 1 (=r) und seine Breite ist , somit ist auch sein Flächeninhalt .

 

Der Fläche des Kreises nähert man sich schließlich so:

F_innen < F_Kreis < F_außen

 

3.1.2. Gitterpunktverfahren

 

Dieses Verfahren kann man sehr einfach selbst ausprobieren. Hierbei wird auf Millimeterpapier ein Kreis mit einem festgelegten Radius r gezeichnet. Dabei kann man jedes Gitterquadrat als ein Einheitsquadrat betrachten. Zählt man nun alle Quadrate zusammen, die sich mit ihrem Mittelpunkt auf oder innerhalb des Kreises befinden, so erhält man die von ihnen einbeschriebene Fläche g.

Diese Fläche stellt gleichzeitig auch eine Näherung für die Kreisfläche da, es gilt also:

 

 

 

 

Bei diesem Beispiel wäre der Radius r=4, die Anzahl der einbeschriebenen Quadrate g=49, woraus sich der Wert  ergibt.

 

 

 

 

 

Mit steigender Quadratzahl steigt auch die Genauigkeit für die Näherung von Pi, wie die folgende Tabelle verdeutlicht:

 

 

Die Gitterpunktmethode liefert also sehr schnell ziemlich genaue Näherungen für Pi, was anhand der Einfachheit des Verfahrens doch recht verwunderlich ist. Allerdings sind die bisher gezeigten geometrischen Methoden nur bedingt geeignet, damit eine große Anzahl von Dezimalstellen maschinell berechnen zu lassen. Dafür schon eher geeignet sind die folgenden Verfahren.

 

3.2. Monte-Carlo-Verfahren

 

Verfahrensweisen zur Berechnung von Pi, die auf dem Zufall beruhen, werden Monte-Carlo-Verfahren genannt. Meistens ergibt sich Pi dabei aus Wahrscheinlichkeiten, es ist also ein erheblicher Unterschied zu den „normalen“ Berechnungsweisen vorhanden. Wir möchten hier nur auf die relativ bekannte Dartboard-Methode eingehen (vgl. [1], S. 38f).

Bei dieser Methode wird einem Kreis mit dem Radius r=1 ein Quadrat mit der Seitenlänge 2r=2 umbeschrieben:

Nun stelle man sich vor, man würde Pfeile zufällig innerhalb des Quadrats verteilen, „Treffer“ wären hier Pfeile, die sich innerhalb des Kreises befinden.

Nun geschieht folgendes:

Das Verhältnis  (t = Zahl der Treffer, n = Zahl der Würfe) nähert sich mit steigender Zahl der Würfe n dem Flächenverhältnis von Kreis und Quadrat an. Somit ergibt sich:

Es ist mit dieser Methode also auch recht bequem, eine gute Näherung für Pi zu bestimmen. Man muss nur eine möglichst große Zahl von Würfen durchführen oder mit einem Computerprogramm simulieren zu lassen, was sich in der Praxis ja mittlerweile recht gut durchzuführen ist.

 

Würfe n	Näherungswert 1. Versuch	Näherungswert 2. Versuch	Näherungswert 3. Versuch
10	4	1,6	3,6
10.000	3,1556	3,1104	3,146
1.000.000	3,142904	3,1434	3,141104
10.000.000	3,1415644	3,1418716	3,1412184

Die Auswertung der Ergebnisse zeigt aber, dass das Gitterpunktverfahren erheblich genauer ist, als der Dartboardalgorithmus. Zu begründen ist dies darin, dass der Zufall die Punkte (Pfeile) nicht so gleichmäßig verteilt, wie es bei den Gitterpunkten der Fall ist. Trotzdem wird in der Informatik der Dartboardalgorithmus dem Gitterpunktverfahren vorgezogen, da er programmiertechnisch sehr einfach zu realisieren ist.

 

3.3. Unendliche Summen oder Produkte

 

Um beliebig viele Stellen von Pi zu berechnen, werden heute Summen oder Produkte benutzt, die sich beliebig erweitern lassen. Die Länge der Dezimalstellen ist somit nur noch von der Rechenleistung und dem Speicherplatz der Computer abhängig. Natürlich ist auch dieser endlich und somit bleibt die beliebige Berechnung von Pi letztlich doch Theorie.

 

Als Beispiel für eine unendliche Reihe stellen wir hier aus Platzgründen nur kurz ein unendliches Produkt von Viète vor:

 

3.3.1. Die Viète-Methode

 

(vgl. [1], S. 180f)

Der erste Europäer, der eine unendlich Reihe entdeckte, war Francois Viète (1540-1603). Ihm gelang dies 1593 mit der folgenden Formel:

Dazu wandelte er die bekannte Beziehung  durch rekursive Umformungen in  um.

Dabei gilt für Sinus:

Und für Kosinus:

Nun setzt man für  ein, somit ergibt sich  und .

Nun setzt man die Gleichungen für Sinus und Kosinus mit der Bedingung für  in Viètes Umformung ein, und man erhält seine ästhetische und elegante Formel für Pi.

 

4. Anwendungen von Pi

 

Wie bereits in der Einleitung beschrieben, begegnet uns im gesamten Alltagsleben ständig Pi. Aber auch in den Naturwissenschaften ist Pi nicht mehr wegzudenken. In der Mathematik wird Pi meistens bei Flächen- und Volumenberechnungen, aber auch bei Sinus- und Kosinusfunktionen verwendet, in der Physik werden mit Pi z.B. elektrische Feldstärken oder Gravitationsfelder von Massen berechnet. Wir beschränken uns hier allerdings auf die grundlegenden Verwendungen von Pi.

4.1. Bogenmaß

 

(vgl. [2], S. 27f)

Winkel lassen sich nicht nur mit dem Gradmaß beschreiben, sondern auch mit Hilfe des Einheitskreises und letztlich auch mit Pi. Dazu teilt man einen Einheitskreis in zwei Sektoren ein:

Ein Sektor besteht nun aus zwei gleichlangen Radien (r=1, denn wir sind ja beim Einheitskreis) und einem Bogen der Länge b. Da der Radius immer gleich ist, hängt b nur vom Winkel a ab. Für den Winkel 360° beträgt die Bogenlänge 2pr, gleicht also dem Kreisumfang. Da nun gilt, dass sich das Verhältnis zweier Bogenlängen gleich dem Verhältnis ihrer Winkel ist, kommt man auf folgende Gleichung:

Nach b umgeformt ergibt sich:          
Setzt man nun für a den gewünschten Winkel ein, so erhält man den gleichen Winkel im Bogenmaß. Für 360° wäre es z.B. die Zahl 2p. Man wandelt eine Winkelangabe also in eine Längenangabe eines Bogens um.

 

Gradmaß	Bogenmaß
360°	2p
180°	p
90°	p/2
60°	p/3
45°	p/4
30°	p/6
1°	p/180

Nun stellt sich die Frage, wozu man denn überhaupt ein zusätzliches Winkelmaß benötigt. Dies ist recht einfach zu beantworten: In der Mathematik rechnet man am liebsten mit reellen Zahlen, in die sich Gradmaße nun wunderbar umrechnen lassen. Auch in der Physik ergibt sich ein Vorteil, denn bei Formeln mit Winkelangaben kann man die unhandlichen Gradmaße einfach durch die einheitslose Bogenmaßangabe ersetzen, was die Arbeit erheblich erleichtert.

 

4.2. Sinus und Kosinusfunktionen

Die Sinus- und Kosinusfunktionen lassen sich im Einheitskreis mit Pi in Verbindung bringen. Dazu verdeutliche man sich folgende Zeichnung:

Wie man sieht, ergibt sich für Sinus und Kosinus jeweils eine Strecke, da die Hypotenuse gleich 1 ist. Nun kann man für a Winkel im Bogenmaß einsetzen, z.B. 0. Für 0 ergibt sich ein Sinus von 0 und ein Kosinus von 1. Setzt man z.B. p/2 (entspricht 90°) ein, so ergibt sich ein Sinus von 1 und ein Kosinus von 0.

Nun kann man den Sinus und Kosinus grafisch in einem Koordinatensystem abhängig von a darstellen (hier nur der Sinus von x, der Übersichtlichkeit halber):

(Window: x_min=0;x_max=4p;x_scl=p/2;y_min=-1;y_max=1)
Wie man sieht, ergibt sich so das allgemein bekannte Bild einer Sinusfunktion. Man sieht sehr schön, dass f(x) bei einem ganzzahlig Vielfachen von p immer Null, bei einem ungradzahlig Vielfachen von p/2 immer ein Maxi- oder Minimum (1 oder –1) ergibt.

Beim Kosinus wäre es genau umgedreht, bei einem ganzzahlig Vielfachen von p gibt es ein Maxi- oder Minimum, bei einem ungradzahlig Vielfachen von p/2 ergäbe sich Null.

Die Sinus- und Kosinusfunktionen haben eine recht hohe Bedeutung in der Mathematik und Physik. In der Trigonometrie lassen sich damit Strecken oder Winkel bestimmen, in der Optik werden damit Interferenzen bestimmen und auch im Wechselstromkreis lassen sich damit die sinusförmigen Strom- und Spannungsverläufe darstellen.

5. Eulersche Zahl e und Kreiszahl p

 

Zum Abschluss des ersten Teils der Facharbeit noch eine kleine Kuriosität:

Auch mit der Eulerschen Zahl e ist es möglich, sich Pi begrenzt zu nähern (vgl. [1], S.60).

Den letzten Term kann man noch einmal umformen:

Das Beeindruckende an der letzten Näherung ist, dass sie erstens sehr schön aussieht und leicht zu merken ist, und dass sie zweitens jeweils sieben richtige Dezimalen von Pi ergibt.

Wer diese Näherungen gefunden und erdacht hat und wieso sie sich Pi nähern, war leider nicht in Erfahrung zu bringen. Jedenfalls ergeben sie eine gute Überleitung zum zweiten Thema dieser Facharbeit: Der Zahl e.

1. Einleitung

 

Die eulersche Zahl liegt vielen Wachstumsprozessen in der Natur zugrunde, deshalb wird sie auch »Basis des natürlichen Logarithmus« genannt. Wenn eine Bakterienkolonie sich vermehrt, wächst sie gemäß e, und auch die Geschwindigkeit, mit der Bäume Biomasse zulegen, lässt sich auf der Basis von e berechnen. Wo immer etwas lebt, ist e im Spiel.

 

Sogar der radioaktive Zerfall folgt der Logik dieser Zahl. »Wer hat, dem wird gegeben«, so könnte die Botschaft der Zahl e heißen, denn sie bedeutet, dass ein um das Doppelte gewachsener Organismus auch doppelt so schnell weiterwuchert und dreifache Größe bedeutet dreifaches Wachstum und so weiter. So wie Computer mit der leibnizschen Basis von Zwei laufen, so läuft die Zellteilung gemäß der eulerschen Basis von 2,718... Das lässt sich auch auf den Geldmarkt übertragen: Mit e können wir berechnen, wie ein Vermögen wächst, wenn die Zinsen der Zinseszinsen verzinst werden. Hat sich das Vermögen verdoppelt, wächst es bei gleicher Verzinsung auch doppelt so schnell weiter.

 

Obwohl die Zahl e weitaus universeller ist als zum Beispiel Pi, ist sie kaum bekannt – möglicherweise, weil sie noch jung ist: Erst 1727 erfand Leonhard Euler die Zahl e. Mit 886 Veröffentlichungen gilt er als einer der produktivsten Mathematiker aller Zeiten.

 

 

2. Exponentialfunktionen

 

Exponentialfunktionen sind Funktionen, bei denen die Variable x im Exponenten einer Konstanten steht. Exponentialfunktionen haben überall ihre Bedeutung, von Zinses-Zinsrechnung, über die Wachstumsrate von Lebewesen bis zum radioaktiven Zerfall. Einer ganz bestimmte dieser Funktionen ist diese Facharbeit gewidmet.

 

 

2.1. Überlegungen zu Exponentialfunktionen

 

Man experimentierte mit der Expotenzialfunktion

 

 

herum, denn diese Funktion hat eine Besonderheit, der man auf den Grund gehen wollte:

 

Für f(0) hat für beliebige a immer den Funktionswert 1.

 

 

Interessant ist allerdings erst die Entwicklung des Differenzenquotienten. Zuerst bildet man für diese Funktion den folgenden Differentenquotienten:

 

 

Nach einfachem Anwenden der Potenzgesetze und kurzem Umformen erhält man dann diese Formel:

 

 

Wie man erkennt, handelt es sich bei der Ableitung um die Ausgangsfunktion, erweitert durch einen Proportionalitätsfaktor. Dies führt zu der Annahme, dass man dadurch die Ableitung einer Exponentialfunktion sehr einfach berechnen kann. Wenn man die letzte Formel ein wenig umformt, erklärt sich auch, um was für einen Faktor es sich dabei handelt:

 

 

Es ist der Differenzenquotient der Funktion an der Stelle x=0. Diesem haben wir den Buchstaben c gegeben. Die Ableitungsfunktion  ist somit proportional zu f(x)=a^x. Eine solche Funktion nennt man „Exponentielle Wachstumsfunktion“.

2.2. Nähere Betrachtung von c

 

Setzt man für a den Wert 2 ein, so erhält man folgende Werte:

 

 

 

Bildet man also den Grenzwert für , so erhält ungefähr den Wert 0,6931. Nun kann man viele andere Werte für a einsetzen und wird immer ein anderes Ergebnis erhalten, doch man erkennt schnell, dass der Grenzwert über 1 springt, wenn man a=3 benutzt, nämlich auf ungefähr 1,0986. Schaut man sich jetzt die beiden Ableitungsfunktionen genau an.

 

1.

2.

 

so stellt man fest, dass es eine Funktion geben muss, deren f’(0)=1 beträgt und dessen Proportionalitätsfaktor demnach gleich 1 ist. Die Ableitung dieser Funktion ergäbe wieder die selbe Funktion. Nach dieser Zahl hat man lange gesucht, dementsprechend gibt es sehr viele Möglichkeiten, diese Zahl zu berechnen. Leider nur zwei davon werden hier später vorgestellt. Aber nun einige Daten des Mannes, dem diese Zahl ihren eigentlichen Namen verdankt:

 

3. Kurzbiographie Leonhard Eulers

 

(vgl. [4])

Diese Zahl wurde nach dem bekannten österreichischen Mathematiker Leonard Euler benannt: die eulersche Zahl, oder kurz „e“. Er lebte von 1707-1783 in vielen Ländern Europas und schrieb dort seine Arbeiten. Diese waren aus vielen verschiedenen Themenbereichen: Mathematik, Mechanik, Astronomie, Physik, Briefe und Manuskripte. Als er 18 Jahre alt war, wurde er von seinem damaligen Professor an der Universität als Genie entdeckt. , worauf er anfing, seine Aufsätze drucken zu lassen. In seinen letzten acht Lebensjahren (1775-1783) verfasste er den Großteil seiner Arbeiten, ungefähr 270 Stück. Insgesamt verfasste er über 760 Arbeiten, die er allesamt drucken ließ, sodass die Druckereien noch Jahrzehnte nach seinem Tod damit beschäftigt waren, seinen Aufträgen nachzukommen. Im Jahr 1907, zu seinem 200. Geburtstag, wurde der Entschluss gefasst seine Werke zu sammeln. Es ergaben sich 72 Bände. Damit hat er fast so viel verfasst, wie alle anderen wichtigen und berühmten Mathematiker zusammen: Mit 27 Bänden liegt Gaughy direkt hinter im und der legendäre Gauss brachte es sogar „nur“ auf 12 Bände.

 

4. Berechnungsweisen von e

 

(vgl. [3] S. 158-165)

Da es sehr viele Möglichkeiten gibt die eulersche Zahl e zu berechnen, können hier nicht alle aufgeführt werden. Zwei relativ wichtige allerdings werden hier an angesprochen. Die erste formale Entwicklung basiert auf dem Proportionalitätsfaktor c und erreicht ein sehr genaues Ergebnis. Die zweite Methode beruht auf dem Prinzip der Grenzwertnäherung, bei der e durch eine Intervallschachtelung bestimmt wird.

 

4.1. Berechnung über den Proportionalitätsfaktor c

 

Um die Zahl e nun bestimmen zu können, macht man ein paar Vorüberlegungen zu den Exponentialfunktionen und deren Umkehrfunktion. Diese heißen Logarithmusfunktionen, mit deren Hilfe sich e in diesem Fall sehr einfach bestimmen lässt.  Es gilt:

 

 

Für x setzen wir 2 ein, um eine der beiden Variablen zu einer Konstanten zu machen. ergibt sich diese Gleichung:

 

 

Da wir aber Exponentialfunktionen betrachten, muss diese Formel noch potenziert werden. Nach Anwendung der Potenzgesetze erhalten wir dieses Ergebnis:

 

 

Somit führen wir die Exponentialfunktion f_a=a^x auf die Funktion f₂=2^x zurück, können a aber beliebig wählen. Dies bietet den Vorteil, dass man sich auf eine berechenbare Konstante beziehen kann. Jetzt gilt:

 

    

 

Allerdings gilt auch:

 

           

 

Setzt man diese beiden Funktionen gleich, kann man die Formel wie folgt nach  auflösen, ohne dass wir auf die Berechnung auf Basis 2 verzichten müssen.

 

           

 

Wir können jetzt also auf dem Logarithmus zur Basis 2 einen beliebigen Proportionalitätsfaktor  berechnen. Dies benötigen wir, da wir diesen 1 setzen wollen. Doch vorher brauchen wir den Proportionalitätsfaktor der 1. Ableitung von , also .

 

           

 

Da wir den Proportionalitätsfaktor 1 berechnen wollen, setzen  und für a entsprechend die gesuchte Zahl e ein.

 

           

 

Nun brauchen wir für c₂ nur noch den bekannten Wert 0,6931 einsetzen und erhalten die Näherung:

 

           

 

Die Genauigkeit dieser Berechnung hängt von der Genauigkeit von  ab. In diesem Fall wurde  auf 4 Stellen berechnet, so dass der Wert für e sehr ungenau ist.

 

4.2. Berechnung über die Grenzwertformel

 

Diese Methode entwickelt eine obere und eine untere Grenze, zwischen denen sich der Wert für e befindet. Sein Wert wird umso genauer, je kleiner man den Abstand zwischen oberer und unterer Grenze wählt.

 

 

4.2.1. Herleiten des Intervalls

 

Da die Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion immer der Ausgangsfunktion entspricht und e positiv ist, sind die Funktionswerte der 2. Ableitung auch positiv. Der Wert von e muss positiv sein, da sonst bei  nur der Funktionswert –1 und nicht +1. Somit haben wir unsere erste Aussage über die Zahl e. Das bedeutet, dass der Graph für alle  links gekrümmt ist. Im folgendem Bild sieht man, dass sämtliche Tangenten des Graphen vollständig unter ihm verlaufen, ausgenommen der Berührpunkt.

 

 

Die Tangentenfunktion eines Graphen wird durch diese Gleichung angegeben:

 

                       

 

Da es sich hier um die natürliche Exponentialfunktion handelt gilt:

 

           

 

Setzt man dieses Ergebnis in die allgemeine Tangentenfunktion ein, lautet diese:

 

           

 

Da die Tangenten alle unter dem Graphen verlaufen, sind sämtliche Funktionswerte kleiner als die von ( für ).

 

           

 

Da wir ja zwei Grenzen betrachten wollen, müssen wir sie erst mal suchen.

Als erstes bestimmen wir die untere Grenze. Dazu verwendet man das Assoziativ-Gesetz:

 

           

            und erhält

           

 

Für die obere Grenze verhält es sich ähnlich:

 

 

Um für die zweite Ungleichung ein mit der ersten vergleichbares Ergebnis zu bekommen, setzen wir  und erhalten:

 

 

Diese beiden Ungleichungen fügen wir nun zusammen und erhalten eine Formel, mit der man sich der Zahl e durch Intervallschachtelung nähern kann:

 

           

 

Anhand der folgenden Tabelle lässt sich erkennen, wie die Genauigkeit in Abhängigkeit von n ansteigt:

 

n	10	1000	1000000
obere Grenze	2,8531	2,7196	2,7182832
untere Grenze	2,5937	2,7169	2,7182804

 

Die beiden Zahlenfolgen, die e einschachteln, nennen wir jetzt  und t_n. Da sie mit steigendem n eine Intervallschachtelung bilden, besitzen sie als Grenzwert für  nach dem Cantorschen Axiom genau eine innere Zahl. Da es für beide also die gleiche Zahl ist, braucht man nur noch den Grenzwert einer Zahlenfolge zu berechnen um e zu erhalten.

 

 

4.2.2. Beweis für die Intervallschachtelung

 

Allerdings muss erst mal bewiesen werden, dass es sich bei den beiden Zahlen wirklich um eine Intervallschachtelung zwischen  und  handelt. Um dies zu beweisen, müssen wir zeigen, dass:

 

1.      die Folge  streng monoton steigend

2.      die Folge  streng monoton fallend

3.      und  ist.

 

 

Der vollständige Beweis dafür würde sehr viel Platz in Anspruch nehmen, mit dem wir doch recht knapp bemessen sind. Mit ein paar geschickten Umformungen kann man ihn allerdings schnell herleiten. Als Ergebnis erhält man die Bernoullische Ungleichung  und die Folgerung, dass alle drei Bedingungen erfüllt sind.

 

5. e und die harmonische Reihe

 

(vgl. [1])

Die Eulersche Zahl e kann man wirklich fast überall finden. Da sie eine Wachstumsfunktion darstellt, ist sie auch in der Natur zu finden (z.B. bei der Entwicklung von Bakterienkolonien). Allerdings gibt es auch Wachstumsprozesse in der Mathematik, die auf e basieren. Wenn man sich die harmonische unendliche Reihe

 

           

 

ansieht, fällt im ersten Augenblick nichts Besonderes auf. Man könnte die ersten 100 Ergebnisse aufschreiben. Allerdings würde man dabei feststellen, dass der Wert immer langsamer wachsen und sich einem Grenzwert nähern würde. Für  gilt diese Tabelle:

 

 

 

Nun betrachtet man die k, für die die Partialsumme jeweils eine natürliche Zahl überschreitet: 4, 11, 31, 83, 227, ... Wir nennen diese Zahlenfolge p_n. Es fällt auf, dass sich der Wert immer ungefähr verdreifacht. Wenn man nun das Verhältnis zweier aufeinander folgenden Zahlen dieser Zahlenreihe berechnet, so sind die ersten 5 Ergebnisse:

 

            2,75; 2,8182; 2,6774; 2,7349

 

Diese Ergebnisse liegen sehr nahe an der Eulerschen Zahl. Um herauszufinden, ob diese Verhältnisse wirklich auf e zulaufen, lässt man von einem Computer eine sehr hohe Stelle berechnen, an der wieder eine natürlich Zahl überschritten wird. Bei n=675.214 zum Beispiel wird die Zahl 13 überschritten. Das Verhältnis zum Vorgänger n=248.397 ist 2,71828162. Da dies schon eine gute Annäherung ist, liegt folgende Vermutung nahe:

 

           

 

Dies kann man natürlich auch beweisen, allerdings würde auch dieser Beweis die Platzvorgaben dieser Arbeit sprengen. Er lässt sich allerdings relativ einfach über den Zusammenhang  entwickeln.

Abschließende Betrachtung

 

Naturkonstanten wie Pi und e gibt es noch häufiger. Da wäre zum Beispiel die Zahl Phi: Sie ist das Verhältnis zweier aufeinanderfolgenden Zahlen in der Fibonacci-Reihe. Auch sie ist, wie Pi und e, transzendent und irrational und wird mit dem gleichen Respekt wie Pi behandelt. Allerdings ist sie nicht so bekannt wie Pi und e, deswegen aber nicht weniger interessant und komplex.

 

Zwischen Pi und e lässt sich abschließend nur eine Gemeinsamkeit feststellen: Beide Zahlen sind für den täglichen Gebrauch in der Wissenschaft und Forschung hinreichend bekannt. Denn für eine Berechnung des Umfangs der bekannten Galaxie auf die Genauigkeit des Radius eines Protons genügen bereits 39 Stellen (vgl. [1], S.151). Um Berechnungen mit e hinreichend genau durchzuführen, reichen bereits um die fünf Stellen. Die heutigen Berechnungen und Forschungen um diese beiden Zahlen werden also nur noch aufgrund des Rekordwahns getätigt, oder um kühne Behauptungen („niemand wird je die 10⁵¹te Stelle von Pi erfahren“, Peter Borwein in einem Referat 1995 (vgl. [1], S.190)) zu widerlegen. Viele wichtige Eigenschaften der beiden Zahlen sind bereits bewiesen (Transzendenz, Irrationalität), so dass es nur noch wenige Forschungsziele gibt (z.B. Normalität), die lohnenswert erscheinen. Allerdings sind e und Pi ja vor allem für ihre Abnormitäten bekannt, man darf also weiter gespannt sein...

Literaturverzeichnis

 

 

[1]  ARNDT, Jörg/HAENEL, Christoph: Pi: Algorithmen, Computer, Arithmetik. Berlin,        Heidelberg 1998

[2]  Anschauliche Geometrie 4, 1. Auflage, Ehrenwirth Verlag München 1989

[3]  KUYPERS, Wilhelm/LAUTER, Joseph: Mathematik Sekundarstufe II, Analysis Leistungskurse. Düsseldorf 1987

[4]  v. RENTELN, Michael: Leonard Euler und die Geschichte der Mathematik. In: Der       mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht, Band 48 1995, Heft 3, S. 131-137.

[5]  EISENMANN, Peter: Die harmonische Reihe und die eulersche Zahl e. In: Mathematik in       der Schule, Band 35 1997, S. 357-359.